LA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS

MANUAL PARA GRAFICAR FUNCIONES

UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
PROGRAMAS: ADMINISTRACIÓN FINANCIERA Y AFINES
CURSO: CÁLCULO UNIVARIADO GRUPO: 03
PROFESOR - TUTOR: ORLANDO OLIVERA MORALES

MANUAL PRÁCTICO PARA UTILIZAR EL GRAFICADOR FW 27
UNIDAD TEMÁTICA DE APLICACIÓN: GRÁFICO Y ANÁLISIS DE FUNCIONES EN LOS TEMAS DE: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD, MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS DE FUNCIONES, Y ÁREA BAJO LA CURVA

Objetivos:
Utilizar la herramienta tecnológica del graficador FW 27 para afianzar elementos conceptuales y analíticos en el gráfico de funciones.
Facilitar el proceso integral en el trabajo con funciones discontinuas y continuas, aplicando el concepto de límite de una función.
Emplear el graficador para facilitar y complementar el proceso de gráfico y análisis integral de algunas funciones matemáticas.
Fortalecer y dinamizar el trabajo en equipo.

PROCESOS LÓGICO PARA EL GRÁFICO Y ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL, EMPLEANDO EL FW 27

Introducción de la función a analizar.
Paso 0: Ejecución del programa: Haga doble clic en el ícono fw27.exe:

Paso 1. En el menú Funciones y entrada de Datos,

Escriba la función a graficar, esto se hace en la columna F(x) del menú. Tenga en cuenta al escribir, que la sintaxis sea como el ejemplo siguiente: 2*x^3+2*x^2+3*x.
Nota: el símbolo de exponente ^, se obtiene con alt 94, cuando no sale por función directa.

Hecho el anterior paso, se hace clic en la opción O.K del menú y aparece graficada la función, como se ve a continuación.
Nota: El programa grafica la función dada, empleando las escalas (x) y (y) por defecto (datos que aparecen automáticamente). Por lo tanto para ampliar o mejorar el gráfico usted lo puede hacer siguiendo el proceso del paso 2

Paso 2: Cada vez que quiera modificar la grafica de la función, usted debe hacerlo desde el menú Funciones: entrada de datos, en las columnas: escala(x), escala (y)( ver menú del paso 1), para lo cual previamente debe ir al menú archivo y escoger la opción : Cambiar funciones y parámetros.

paso3: Análisis de la gráfica: El análisis integral del gráfico se hace a partir de las opciones que despliega 1 fu en el menú.

Las distintas opciones de 1 fu permiten analizar y visualizar entre otras:
La imagen para cada punto del dominio(x) de la función, teniendo en cuenta que por defecto, el programa muestra la imagen del valor x = 0, pero haciendo clic en aceptar, se pueden mirar otras imágenes (y), cambiando el valor de x cuantas veces se quiera. Cuando no se quieran ver más imágenes, entonces damos cancelar y salimos de esa opción. Veamos desde el menú

Las opciones máximos y mínimos permiten ver las coordenadas de estos puntos en la gráfica, si ésta los tiene (como en las dos gráficas siguientes); sino los tiene sólo aparece la palabra máximo o mínimo sin coordenadas, como sucede con la gráfica del ejemplo posterior a las dos gráficas siguientes

El punto mínimo es de coordenadas (1, -18)

La siguiente gráfica es totalmente creciente y no tiene puntos máximos ni mínimos.

De igual manera la opción puntos de inflexión, muestra el punto o los puntos donde la curva cambia de concavidad (hacia abajo o hacia arriba). La coordenada x de este punto permite determinar los intervalos para cada tipo de concavidad. Para el ejemplo de la gráfica que aparece a continuación, el punto de inflexión es (-1, -2), pero aparece como (-1.2, -1.8) por exceso y por defecto en las coordenadas x, y, de acuerdo al programa de graficación

La opción discontinuidades aisladas, muestra el punto o puntos donde la función es discontinua, dando las coordenadas o la asíntota vertical si la discontinuidad es esencial, como se ve en el gráfico de la función que se ilustra a continuación.

Si usted desea hacer todo el análisis de discontinuidad, haga clic en continuar y finalmente sale con cancelar.
De igual manera usted podrá explorar todas las demás opciones que despliega 1 fu, para cada función que grafique.

Material diseñado y elaborado por
ORLANDO OLIVERA MORALES
Profesor y tutor Fund. De Matemáticas y cálculo Univariado.
Semestre A/08

DERECHOS RESERVADOS DE AUTOR.

LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA EN EDUCACIÓN.

La enseñanza problémica en educación hace parte de los llamados modelos didácticos que se han venido implementando en distintos espacios académicos de la educación formal y no formal. En el caso latinoamericano, son reconocidos los trabajos realizados por distintos investigadores de la escuela cubana; pero en Colombia son de más renombre- al menos desde la teoría- los modelos: Constructivista, el de aprendizaje significativo y el aprendizaje por descubrimiento.

Las características en relación con las fortalezas y debilidades de la enseñanza problémica, se presentan a continuación en el siguiente cuadro:

MODELO	FORTALEZAS	DEBILIDADES
La enseñanza problémica Este modelo se experimentó y aplicó inicialmente en la Unión Soviética, tratando de buscar una relación activa entre enseñanza- aprendizaje, ciencia y tecnología, especialmente desde la física.	La construcción de conocimiento parte del planteamiento de situaciones problema de interés conjunto( profesor- estudiante) El estudiante aplica los conocimientos previos y fortalece los que son necesarios (físicos, químicos, matemáticos, etc) para la resolución de problemas. El profesor es agente activo del proceso, acompañando y mediando con el estudiante en el desarrollo del aprendizaje. No se concibe la ciencia como un conjunto de conceptos, leyes y teorías terminadas; sino que los conocimientos que se van adquiriendo se confrontan con los ya existentes. Se emplea una especie de proceso metodológico no lineal, que permite la experimentación y teorización de situaciones.	Centró con demasiada importancia el aprendizaje en la parte cognitiva y descuidó la formación en valores; desconociendo que la ciencia es una construcción humana con valores morales y significado social. Redujo el currículo a una estrategia transversal: situaciones problema. La realización de prácticas de laboratorio y la evaluación de hipótesis al parecer se hizo de manera tradicional, lo cual facilitó que se cayera en el tratamiento se cayera en el tratamiento empírico- positivista de la ciencia.

¿QUÉ SE ENTIENDE POR ENSEÑANZA PROBLÉMICA?

Paúl Torres Fernández (1993), expresa que “es aquella forma de enseñanza donde los alumnos son situados sistematicamente ante problemas, cuya solución debe realizarse con su activa participación, y en la que el objetivo no es solo la obtención del resultado, sino además su capacitación para la resolución independiente de problemas en general”

Esta definición permite inferir que el enfoque pedagógico de la enseñanza problémica no implica la exclusión de la reproducción de información y conocimientos en el aula, porque se hace necesaria la reciprocidad entre la reproducción y la producción de nuevos conocimientos, pues estos últimos se alimentan de la información obtenida en clase o en los procesos extraacadémicos que desarrolla el estudiante.

. ¿Qué es un problema en educación?

Aunque existe un conjunto de definiciones de lo que es o debe ser un problema en educación- algunas de las cuales están orientadas desde la concepción de las matemáticas, con los aportes de David Hilbert, Polya, Luz Manuel Santos Trigo, Luis Rico, entre otros-, incluyendo las que ofrecen los diccionarios, el autor de este artículo se atreve a expresar que: Un problema se puede definir como una pregunta o conjunto de preguntas que son de interés para un individuo o comunidad, y cuya solución no es posible con los conocimientos que se poseen, lo cual implica el compromiso de reconstruir y construir nuevos conocimientos para encontrar tal fin.

Es importante aclarar que en el campo didáctico y pedagógico de la educación escolar, un problema debe ser una situación suficientemente conocida por el profesor el cual debe saber el camino(s) para llegar a la solución(es); pero que para el estudiante, dicha situación se le convierte en un problema cuya solución debe buscar con el apoyo de los conocimientos previos y la reconstrucción de los mismos, para lo cual cuenta con el apoyo del profesor a partir de tareas específicas o actividades que éste le programa para alcanzar la meta.

PREGUINTAS REFERIDAS A LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA¹

1. ¿Qué ventajas tendría para la educación colombiana la aplicación de la enseñanza problémica en el aula?

La aplicación de este modelo pedagógico y didáctico en las aulas colombianas, podría traer como ventajas las siguientes:

a. Un desarrollo más dinámico de todas las actividades del aula, donde el estudiante comenzaría a explorar de mejor manera lo que significa aprender a partir de preguntas, lo cual exige del binomio estudiante –profesor una preparación individual y grupal.

b. Este modelo le daría una mayor autonomía al estudiante para que se familiarice en la técnica de trabajo en equipo como propiciadora del diálogo de saberes.

c. Cambiaría el modelo tradicional y de repetición o reproducción de información y/o conocimientos como verdades absolutas.

d. El aula dejaría de ser un espacio físico único, porque existe la posibilidad de hacer salidas al entorno interno o cercano para observar situaciones que permitan orientar la búsqueda de la solución a un problema.

2. ¿Dé que manera la enseñanza problémica contribuye a potenciar el pensamiento de los estudiantes?

Algunas de las posibles maneras en que esto se conseguiría pueden ser:

a. Como una etapa esencial (la primera) en la búsqueda de la solución, es el análisis de la situación, entonces es claro que es la lectura comprensiva una manera de potenciar el pensamiento del estudiante, porque el pensamiento es una función mental que se alimenta del lenguaje.

b. Desarrollar un excelente nivel de lectura comprensiva es un potenciador del pensamiento porque ligada al conocimiento debe estar una habilidad especial para leer muy bien, y “la lectura es la llave del conocimiento en la sociedad de la información” (Millán, 2003. p.4)

c. Presentar al estudiante situaciones problema que sean de su interés y que ameriten, además de ciertos conocimientos específicos del área académica en particular, de otros que hagan parte del currículo y que motiven al estudiante a ver la integralidad del proceso enseñanza – aprendizaje.

SITUACIONES PROBLEMA DE CARÁCTER CERRADO Y DE CARÁCTER ABIERTO.

En este aparte lo que se busca es tratar de definir cada tipo de situación y a partir de dichas definiciones presentar situaciones problema que motiven al estudiante a encontrar las soluciones.

SITUACIONES PROBLEMA DE CARÁCTER CERRADO: Se pueden definir como aquellas para cuya solución el estudiante cuenta con los prerrequisitos o conocimientos para su solución y la información brindada así lo permite. Sin embargo, en este campo de preguntas, también pueden plantearse algunas situaciones que aunque su solución no es inmediata, el estudiante puede llegar a ella apoyándose en conocimientos previos.

Son ejemplo de ellas, dentro del campo de las matemáticas, la estadística y la probabilidad, las siguientes:

NIVEL: NOVENO BACHILLERATO.

1. Un fabricante de bandejas para papel de las fotocopiadoras Kodak, utiliza un tipo de máquina para tal fin. Una muestra de las bandejas de la máquina, midieron: 12.2, 11.9, 12.1, 11.8, 11.5 pulgadas. Obtenga: la media, la mediana y la moda, al igual que la desviación estándar y el coeficiente de variación (C. V). Analice a la luz de los datos. Si aparece otro proveedor que le ofrece a la kodak, cortes de bandeja con una máquina cuyo promedio es de 11.95 pulgadas, con una s = 0.52 y un C. V = 5.75%, ¿Debería preocuparse el primer fabricante por esta competencia? Por qué? Explique. ¿Cuál opción de proveedor escogería usted como gerente de la Kodak? Por qué? Explique a partir de los datos estadísticos obtenidos y brindados.

NIVEL: DÉCIMO BACHILLERATO.

2. Interprete y resuelva: Desde un punto exterior se observan dos puntos extremos de un lago; el ángulo formado por las dos visuales es de 48.4 grados y las distancias del punto exterior a los dos extremos observados, son de 215 y 184 metros respectivamente. Calcule la distancia que hay entre dichos extremos. Halle el área del triángulo virtual que se forma.

NIVEL: NOVENO BACHILLERATO.

3. Ejercicios de recreación: El matemático griego Diofanto, quien posiblemente vivió hacia el siglo III d.c., al parecer hizo escribir en su tumba un Epitafio, que en el lenguaje moderno se puede traducir como: Dios le concedió que fuera niño durante la sexta parte de su vida y después de que pasó otra doceava parte de ella, cubrió su rostro con barba. Dios le encendió la luz del matrimonio después de otra séptima parte y luego de cinco años de matrimonio le concedió un hijo. Sin embargo al desdichado hijo, después de llegar a la mitad de la edad que vivió su padre, se llevó el destino. Para Diofanto, después de consolar su dolor con la ciencia de los números durante cuatro años más, su vida terminó. ¿Cuántos años vivió Diofanto y cuántos su hijo?

SITUACIONES PROBLEMA DE CARÁCTER ABIERTO: Son aquellas que les son plantadas por el profesor a sus estudiantes, pero que para la solución de las mismas, el estudiante se ve en la necesidad de reconstruir y construir conocimientos para poder llegar a la solución de la situación planteada, porque ésta no le brinda información suficiente para tal fin., y además no son soluciones obvias y mecánicas sino que ameritan un determinado nivel de análisis e interpretación de la misma.

Son ejemplo de ellas, dentro del campo de la matemática, la estadística y la probabilidad las siguientes.

NIVEL: GRADO UNDÉCIMO.

1. Ejercicios de recreación: El matemático Italiano LEONARDO DE PISA O FIBONACCI (1170-1240) Planteó el siguiente problema: Suponga que cierta persona coloca una pareja de conejos en determinado lugar, rodeado de paredes por todos lados ¿Cuántas parejas de conejos se podrán criar en un año a partir de esa pareja inicial, suponiendo que se está en la naturaleza de los conejos que cada mes dan a luz otra pareja, y que en el segundo mes después de nacer, cada nueva pareja puede engendrar o procrear una nueva pareja? ¿Cómo se puede generalizar este ejercicio empleando el lenguaje de las matemáticas?

2. Un amigo me contó que el tablero de ajedrez tiene un total de 204 cuadrados. ¿Es esto verdad o mentira? ¿Se puede presentar la respuesta como una expresión aritmética especial? Cuál sería? Teniendo en cuenta los resultados y el proceso para llegar a la solución particular anterior, ¿cómo se podría modelar matemáticamente este ejercicio a partir del lenguaje de las funciones para generalizarlo a un cuadrado de n lados?

3. Realice algunas potencias de 2, comenzando por 2 a la uno, luego a la dos, a la tres, etc, por lo menos hasta 2 a la diez. Observe los dos últimos dígitos de dichas potencias. Ahora a partir de esta información, emprenda un trabajo apoyado en la potenciación, la calculadora y el computador y responda con justificaciones matemáticas, ¿cuáles son los dos últimos dígitos de la potencia de 2 a la 1984?

4. Las placas de los vehículos particulares en Colombia por disposiciones del Ministerio de Transporte, deben constar de tres letras iniciales y tres números dígitos finales. En el caso de los vehículos inicialmente matriculados en Ibagué, las placas deben comenzar con la letra I. Suponiendo que el Ministerio autorizó que para Ibagué la segunda letra puede variar entre la B y la G, entonces determine ¿cuál es el total teórico de placas que se pueden autorizar para la matrícula de vehículos particulares en nuestra capital?

5. En un estante de biblioteca se tienen 15 libros, de los cuales: 8 son de matemáticas, 6 son novelas y el otro es un diccionario. ¿De cuántas formas se pueden escoger dos libros de matemáticas y una novela, si se desea escoger tres libros?

¿De cuántas formas se puede seleccionar el diccionario, si en total se escogen tres libros? ¿Cuál es la probabilidad de escoger el diccionario, si en total se han escogido tres libros?

6. Gráfico y análisis en el plano cartesiano: La siguiente tabla de valores permitirá ilustrar una gráfica en el plano cartesiano.

x…	-4	-2	0	2	4	10	18…
y…	-66	-40	-18	0	14	32	0…

Grafíquela y diga si es o no función y explique por qué. Si es función haga el análisis integral de la misma. ¿Cuál es la expresión algebraica que identifica a la gráfica?

LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA DESDE LAS MATEMÁTICAS

A manera de conclusión, con este artículo se busca llamar la atención a profesores y estudiantes de las diferentes áreas y en especial a quienes enseñan y aprenden matemáticas desde las aulas de las instituciones educativas de Colombia, para que comencemos un proceso integral de reorientación de la matemática escolar a la luz de los lineamientos cuniculares, desde los cuales la resolución de situaciones problema hacen parte central del proceso enseñanza- aprendizaje, con miras a mejorar los niveles de desarrollo de los diferentes conjuntos de pensamientos que se deben trabajar a partir de la matemática escolar contextualizada.

REFERENTES

1. Millán, José. A. (2003). La lectura y la sociedad del conocimiento. Archivo Pdf.

2. Torres, F. Paúl (1993). La Enseñanza problémica de la matemática: Una concreción Vigotskiana en la Educación Matemática., p.2.

1 Preguntas presentadas por el doctor Andrés Felipe Velásquez en el curso: Problemas de la Educación II, en el semestre A de 2008 de la maestría en Educación de la Universidad del Tolima.